Propriété de l'espérance

Propriété

Soit  \(X\)  une variable aléatoire d'espérance  \(E(X)\) , de variance  \(V(X)\)  et d'écart-type  \(\sigma(X)\) . Pour tous réels  \(a\)  et  \(b\) , on a : 
\(\boxed{E(aX+b)=aE(X)+b}\)

Démonstration  

Soit   `X`  une variable aléatoire sur l'univers  `\Omega`  prenant les valeurs  `x_1,x_2, ...,x_n`  de probabilités  `p_1, p_2,...,p_n` . On note  `E(X)`  l'espérance de la variable aléatoire  \(X\) . 

• Soit  \(a\)  et  \(b\)  deux réels et la variable aléatoire  \(Y=aX+b\) . Les valeurs prises par  \(Y\)  sont alors  \(ax_1+b,ax_2+b, ...,ax_n+b\)  de probabilités     `p_1, p_2,...,p_n` .

\(E(Y)=E(aX+b)=p_1(ax_1+b)+p_2(ax_2+b)+...+p_n(ax_n+b)\)

soit  \(E(X)=ax_1p_1+ax_2p_2+...+ax_np_n+bp_1+bp_2+...+bp_n\) `E(X)=a(x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n)+b(p_1+p_2+...+p_n)=aE(X)+b` car  `p_1+p_2+...+p_n=1` . 

Exemple 

Un coiffeur se déplace à domicile. On note  \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de rendez-vous sur une journée. La loi de probabilité de  \(X\)  est donnée par le tableau ci-dessous.

Chaque rendez-vous lui rapporte 30 euros et ses frais de fonctionnement quotidiens s’élèvent à 15 euros.
On note  \(Y\) la variable aléatoire qui donne son gain quotidien et on cherche à déterminer combien le coiffeur peut espérer gagner en moyenne par jour.
On exprime la variable aléatoire  \(Y\) en fonction de la variable aléatoire  \(X\) :   \(Y=30X-15\) . 
Comme le nombre moyen de rendez-vous par jour est  \(E(X)=0,09×1+2×0,15+3×0,38+4×0,18+5×0,17=3,1\) , par linéarité de l'espérance, on a :  \(E(Y)=30\times E(X)-15=78\) .
Ainsi le coiffeur peut espérer gagner en moyenne 78 euros par jour.